Diagramas de fase do modelo de Ising definido sobre dois grafos acoplados
Resumo
Neste trabalho estudamos o modelo de duas redes complexas acopladas, com o intuito
de estudar os diagramas de fase e a metaestabilidade do sistema. As redes apresentam
interações internas ferromagnéticas e são acopladas entre si através de interações
antiferromagnéticas. O modelo possui conectividade finita, ou seja, cada spin de Ising interage
com um número finito de outros spins. O número de conexões por sítio em cada
rede é uma variável aleatória que segue uma distribuição de Poisson, o que caracteriza
um grafo aleatório de Erdös-Rényi. O objetivo principal do trabalho é obter os diagramas
de fase e as curvas que limitam a região de metaestabilidade em função dos parâmetros
do modelo, como a conectividade média entre as redes, a intensidade da interação
antiferromagnética entre as redes e a temperatura. Usando o método das réplicas, obtemos
equações de auto-consistência para as distribuições de campos efetivos, a partir das
quais podemos calcular a magnetização de cada rede e a energia livre do sistema. As
equações de auto-consistência foram resolvidas numericamente através do algoritmo de
dinâmica de populações. Nós calculamos numericamente a magnetização de cada rede,
a energia livre e a partir disso construímos os diagramas de fase. Na primeira etapa dos
resultados, consideramos que a conectividade média entre as redes é nula, e recuperamos
alguns resultados conhecidos para o modelo de Ising com conectividade finita em um
grafo aleatório de Erdös-Rényi. Para o caso de duas redes acopladas , construímos os diagramas
de fase e calculamos a energia livre. O modelo possui uma fase paramagnética,
onde a magnetização de cada rede é zero, e uma fase antiferromagnética, onde os grafos
possuem magnetizações com sinais opostos. Com base no cálculo da energia livre nós
mostramos que este modelo tem uma solução metaestável, onde o estado ferromagnético
corresponde a um mínimo local de energia livre. Estudamos o limite de estabilidade da
solução ferromagnética em função dos parâmetros do modelo. Além disso, observamos a
presença de uma fase paramagnética a baixas temperaturas, que está relacionada à baixa
conectividade entre as duas redes e no interior delas. Os resultados teóricos para o modelo
de redes acopladas foram comparados com simulações de Monte-Carlo, mostrando
uma ótima concordância.
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