Resumo
Estudamos a seguinte classe de EDPs do tipo 𝑝(𝑥)-laplaciano
﹛−div (︂𝜑(𝑥, |∇𝑢|)∇𝑢)︂ = 𝜆𝑓(𝑥, 𝑢), se 𝑥 ∈ Ω
𝑢(𝑥) = 0, se 𝑥 ∈ 𝜕Ω,
onde, Ω ⊂ R𝑁 é um domínio limitado com fronteira 𝜕Ω de Lipschitz. Conseguimos provar
dois teoremas de existência de soluções fracas não triviais para esse problema, sendo que
um deles, garante a existência de uma infinidade de soluções fracas. Ainda, conseguimos
um teorema de caracterização de um autovalor. Em ambos os resultados utilizamos
técnicas variacionais, em especial, o Teorema do Passo da Montanha e o Teorema de
Fountain. Também, dedicamos um capítulo inteiro ao estudo das propriedades básicas a
respeito dos Espaços de Lebesgue e Sobolev com Expoente Variável.