O Grupo Fundamental e aplicações
Resumo
Este trabalho tem por objetivo definir o Grupo Fundamental de um espaço topológico, para
posteriormente efetuar o cálculo deste no seu caso não trivial mais simples, o caso de S1, e
então, utilizar esta informação como uma ferramenta para mostrar que ℝ2 e ℝ3 não são
homeomorfos. Para alcançar tal objetivo utilizou-se como referência Munkres 2000.
Inicialmente foi abordada a teoria da homotopia que é uma ferramenta indispensável para o
cálculo do Grupo Fundamental. Posteriormente, foi abordado o assunto específico, o Grupo
Fundamental, e ao mesmo tempo explorou-se a teoria de espaços de recobrimento e a noção de
levantamento. Por fim, nas aplicações, foi explorada a noção de retrações e pontos fixos, assim
como resultados clássicos, como o Teorema Fundamental da Álgebra, e ainda, resultados
necessários para demonstrar que ℝ2 e ℝ3 não são homeomorfos, como a noção de retratos de
deformação e tipos de homotopia. Para facilitar a compreensão de todos estes resultados,
buscou-se na medida do possível, inserir-se figuras para intuir a ideia das provas e definições.
Por meio deste trabalho foi possível perceber o quanto o Grupo Fundamental é uma ferramenta
útil para demonstrar que dois espaços topológicos não são homeomorfos.
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