Vértices, curva focal e superfície focal de curvas no espaço
Fecha
2013-03-19Metadatos
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A superfície focal de uma curva γ no espaço euclidiano tridimensional é definida como o
envelope dos planos normais a γ. A superfície focal de γ é singular ao longo de uma curva Cγ,
chamada curva focal ou evoluta generalizada. Esta curva é dada pelos centros das esferas osculatrizes
de γ. Neste trabalho estudamos a geometria da superfície focal, dando ênfase nas propriedades da
curva focal. Estes conceitos podem ser generalizados para curvas em Rm+1. A curva focal pode ser
parametrizada em termos do referencial de Frenet da curva γ. Através desta parametrização, obtemos
coeficientes chamados curvaturas focais. Obtemos então uma expressão relacionando as curvaturas
euclidianas de γ com suas curvaturas focais. Definindo vértice de uma curva em Rm+1 como um ponto
em que a curva tem contato de ordem pelo menos m+3 com sua hiperesfera osculatriz, são dadas
condições necessárias e suficientes para um ponto de γ ser um vértice. Em tais pontos a superfície
focal é localmente difeomorfa à superfície rabo de andorinha.