Teoremas de Maschke
Abstract
Na teoria de representações de grupos, ter uma representação de um grupo G é equivalente
a ter um kG-módulo. Desde que kG-módulos que são somas de kG-módulos irredutíveis formam uma classe bastante importante na teoria de módulos, conhecer condições para que um kG-módulo seja irredutível ou completamente redutível a partir das particularidades do corpo k e do grupo G passou a ser um problema bastante importante. Problema este cuja solução foi originalmente apresentada pelo matemático alemão Heinrich
Maschke que provou que se a ordem do grupo G não for múltiplo da característica do corpo k, então kG é completamente redutível (ou semissimples). A partir daí, questões independentes a teoria de representações, mas que dizem respeito a semissimplicidade de
produtos cruzados em geral são tratados como Teorema tipo-Maschke. Nosso objetivo neste trabalho é apresentar algumas versões deste teorema. Iniciamos com versões mais
clássicas envolvendo produtos cruzados globais e parciais para em seguida estudarmos versões em álgebras de Hopf e produtos smash.