Ações de categorias, sistemas e equivalência entre as categorias de sistemas e semigrupos inversos
Fecha
2011-04-08Metadatos
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Mark V. Lawson, no livro "Inverse Semigroups: The Theory of partial
symmetries", fornece um estudo bastante relevante das caracteristicas dos
semigrupos inversos sendo alguns destes, baseados no famoso Teorema da
representação de Wagner-Preston, que afirma que todo semigrupo inverso
pode ser fielmente representado por um semigrupo inverso de bijeções parciais sobre um conjunto. Um refinamento deste teorema mostra que cada semigrupo inverso é isomorfo a um semigrupo inverso de todas simetrias parciais
(de um específico tipo) de alguma estrutura específica. Estas estruturas pertencem a uma classe de ações de categorias sobre conjuntos. Nesta dissertação pretendemos compreender cada etapa deste refinamento e ir mais além, conforme o artigo "Constructing inverse semigroups from category actions"
deste mesmo autor, inicialmente, destacaremos que a partir de ação de categorias sobre um conjunto que satisfazem a chamada condição de órbita, podemos construir um semigrupo inverso com zero e reciprocamente, a cada semigrupo inverso com zero é possível construir uma ação de categoria satisfazendo certas condições. Tais ações são denominadas sistemas, sendo a categoria dos sistemas denotada por SY S. A seguir, construiremos funtores ntre as categorias SY S e a categoria INV dos semigrupos inversos com zero: Θ : SY S ! INV e : INV ! SY S, mostrando que a cada semigrupo inverso S de INV , temos Θ(Ω(S)) isomorfo a S. No entanto, para 3 cada sistema T de SY S, (Θ(T)) e T nem sempre são isomorfos. Mesmo assim, é possível mostrar que INV é equivalente a um quociente adequado da categoria SY S.